Stell dir vor, du nimmst an einer Spielshow teil.
Vor dir stehen drei geschlossene Türen.
Hinter einer befindet sich ein Auto. Hinter den beiden anderen stehen Ziegen.
Du darfst eine Tür auswählen.
Du entscheidest dich für Tür 1.
Doch bevor sie geöffnet wird, greift der Moderator ein. Er weiß genau, hinter welcher Tür das Auto steht. Er öffnet beispielsweise Tür 3 und zeigt dir eine Ziege.
Jetzt sind nur noch zwei Türen geschlossen:
Tür 1 – deine ursprüngliche Wahl.
Tür 2 – die andere verbliebene Tür.
Der Moderator stellt dir eine einfache Frage:
„Möchten Sie wechseln?“
Was würdest du tun?
Zwei Türen – also 50 zu 50?
Genau das denken die meisten Menschen.
Eine von zwei Türen enthält das Auto. Also müsste die Wahrscheinlichkeit doch jetzt bei jeweils 50 Prozent liegen.
Klingt vollkommen logisch.
Ist aber falsch.
Wenn du bei deiner ursprünglichen Tür bleibst, beträgt deine Gewinnchance weiterhin:
1/3
Wenn du dagegen zur anderen Tür wechselst:
2/3
Durch Wechseln verdoppelst du deine Gewinnchance.
Aber warum?
Gehen wir zurück zum Anfang.
Als du eine von drei Türen gewählt hast, betrug die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto tatsächlich dahinter steht:
1/3
Die Wahrscheinlichkeit, dass du falsch gewählt hast, betrug dagegen:
2/3
Und genau das ist entscheidend.
Der Moderator öffnet nämlich nicht zufällig irgendeine Tür.
Er kennt die Position des Autos und öffnet gezielt eine der nicht gewählten Türen, hinter der eine Ziege steht.
Damit liefert er dir zusätzliche Information.
Spielen wir alle Möglichkeiten durch
Angenommen, du wählst immer Tür 1.
Fall 1:
Das Auto steht hinter Tür 1.
Du wechselst und verlierst.
Fall 2:
Das Auto steht hinter Tür 2.
Der Moderator muss Tür 3 öffnen.
Du wechselst zu Tür 2 und gewinnst.
Fall 3:
Das Auto steht hinter Tür 3.
Der Moderator muss Tür 2 öffnen.
Du wechselst zu Tür 3 und gewinnst.
Das Ergebnis:
Bleiben: 1 Gewinn aus 3 Fällen.
Wechseln: 2 Gewinne aus 3 Fällen.
Also:
Bleiben = 33,3 %
Wechseln = 66,7 %
Mit 100 Türen wird es plötzlich offensichtlich
Wer der Sache immer noch nicht traut, kann das Spiel gedanklich vergrößern.
Statt drei Türen gibt es jetzt 100 Türen.
Hinter einer steht das Auto.
Du wählst eine einzige Tür.
Wie wahrscheinlich ist es, dass du sofort richtig liegst?
1 Prozent.
Wie wahrscheinlich ist es, dass sich das Auto hinter einer der anderen 99 Türen befindet?
99 Prozent.
Jetzt kommt der Moderator.
Er weiß wieder, wo das Auto steht, und öffnet von den anderen Türen 98 Stück.
Hinter jeder befindet sich eine Ziege.
Geschlossen bleiben nur:
deine ursprüngliche Tür
und
eine einzige andere Tür.
Würdest du jetzt wirklich glauben, deine ursprünglich mit gerade einmal 1 Prozent Wahrscheinlichkeit richtige Tür sei plötzlich genauso gut wie die andere?
Nein.
Deine Tür bleibt bei 1 Prozent.
Die andere verbliebene Tür trägt unter diesen Spielregeln die 99 Prozent.
Jetzt wirkt Wechseln plötzlich ziemlich vernünftig.
Ein Problem, das selbst Mathematiker provozierte
Berühmt wurde das Problem Anfang der 1990er-Jahre durch die US-amerikanische Kolumnistin Marilyn vos Savant.
Als sie erklärte, dass Wechseln die Gewinnchance von 1/3 auf 2/3 erhöht, erhielt sie Tausende Zuschriften. Viele Leser widersprachen ihr vehement, darunter auch Menschen mit mathematischer und wissenschaftlicher Ausbildung.
Doch die Rechnung ist eindeutig.
Man kann das Spiel sogar tausende Male am Computer simulieren.
Die Wechselstrategie gewinnt langfristig ungefähr:
zwei von drei Spielen.
Der entscheidende Punkt ist der Moderator
Allerdings gilt das Ergebnis nur unter den klassischen Regeln des Problems:
Der Moderator weiß, wo das Auto steht.
Er öffnet immer eine Tür mit einer Ziege.
Er öffnet niemals deine ausgewählte Tür.
Und er bietet dir immer die Möglichkeit zum Wechseln.
Würde der Moderator dagegen zufällig eine Tür öffnen, wäre es ein anderes Wahrscheinlichkeitsproblem.
Diese Kleinigkeit ist entscheidend.
Warum fällt uns das so schwer?
Weil wir nur sehen:
Zwei Türen sind übrig.
Unser Gehirn macht daraus sofort:
50 : 50.
Doch Wahrscheinlichkeit hängt nicht nur davon ab, was gerade vor uns steht.
Sie hängt auch davon ab, wie wir in diese Situation gekommen sind und welche Informationen wir erhalten haben.
Der Moderator beseitigt nicht einfach eine Tür.
Er beseitigt gezielt eine falsche Möglichkeit.
Und genau diese Information verändert das Spiel.
Das Monty-Hall-Problem zeigt deshalb etwas viel Größeres als eine Spielshow mit drei Türen:
Unser Bauchgefühl ist bei Wahrscheinlichkeiten erstaunlich leicht zu täuschen.
Wenn also irgendwann ein Moderator vor dir steht, hinter einer Tür ein Auto versteckt und dich fragt, ob du wechseln möchtest:
Wechsel die verdammte Tür.
Die Mathematik ist auf deiner Seite.
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