Gabriels Horn: Das Fass, das voll wird – und doch nicht zu streichen ist

Man nehme die Kurve \(y=1/x\), beginnend bei \(x=1\), und drehe sie um die x-Achse. So entsteht ein langes, immer schmaler werdendes Rohr: Gabriels Horn, auch Torricellis Trompete genannt. Es reicht unendlich weit, wird dabei aber so rasch dünn, dass sein Innenraum ein erstaunlich bescheidenes Volumen hat. mathworld.wolfram.com

Die Rechnung für den Inhalt ist kurz. An jeder Stelle \(x\) hat das Horn den Radius \(1/x\). Addiert man die kreisförmigen Querschnitte von \(x=1\) bis ins Unendliche, erhält man:

Das unendlich lange Horn fasst also nur \(\pi\) Kubikeinheiten – rund 3,14. Die Unendlichkeit steckt in der Länge, aber die Querschnitte schrumpfen schnell genug, um das Gesamtvolumen endlich zu halten. mathworld.wolfram.com

Bei der Oberfläche kippt das Ergebnis. Für die Mantelfläche zählt nicht einfach der Querschnitt, sondern auch, wie weit die gekrümmte Wand bei jedem Schritt reicht. Daraus ergibt sich

Der Wurzelfaktor ist stets größer als 1. Das Integral ist deshalb mindestens so groß wie

und dieses wächst ohne Grenze. Das Horn hat unendliche Oberfläche. mathworld.wolfram.com

Das Farbproblem hat einen kleinen Haken

Daraus stammt die berühmte Pointe: Man könne das Horn mit einer endlichen Menge Farbe füllen, aber seine Oberfläche nicht vollständig anstreichen. Die Pointe vergleicht zwei verschiedene Dinge. Füllen ist eine Volumenfrage; Streichen wird üblicherweise als Flächenfrage behandelt. Bei einer gleichmäßig dicken Farbschicht braucht eine unendliche Fläche unendlich viel Farbe.

Aber „anstreichen“ lässt eine Annahme mitschwingen: dass die Farbe überall eine bestimmte Mindestdicke hat. Erlaubt man eine Schicht, die entlang des Horns immer dünner wird, kann die benötigte Farbmenge endlich bleiben. Unendliche Fläche allein erzwingt also nicht in jeder denkbaren Beschichtung unendlich viel Material. Die populäre Version des Paradoxons ist anschaulich, aber sie hängt daran, was genau als Anstrich gelten soll. johndcook.com

Auch das Füllen mit Flüssigkeit ist kein gewöhnliches Malen. Eine ideale Flüssigkeit kann den Innenraum bis an die Wand ausfüllen, obwohl das Volumen endlich ist. Sie bildet dann eine Grenzfläche mit unendlicher Fläche – ohne dass eine Farbschicht fester Dicke aufgetragen wird. Ein reales Material könnte dieses Ideal ohnehin nicht endlos nachbilden: Irgendwann würden Molekülgröße und andere physikalische Grenzen zählen. Der mathematische Zaubertrick ist somit keiner. Volumen und Oberfläche summieren unterschiedliche Größen. Beim Volumen fällt der Beitrag in der Ferne ungefähr wie

und ist aufsummiert endlich. Der mathematische Zaubertrick ist somit keiner. Volumen und Oberfläche summieren unterschiedliche Größen. Beim Volumen fällt der Beitrag in der Ferne ungefähr wie und ist aufsummiert endlich. Bei der Oberfläche fällt er nur ungefähr wie

das reicht nicht, um die Summe zu begrenzen. Eine ähnliche Trennung begegnet in der Analysis immer wieder: Ein Gebilde kann in einer Hinsicht endlich und in einer anderen unendlich sein.

Gabriels Horn ist deshalb kein Widerspruch, sondern eine Warnung vor unserer geometrischen Intuition. „Unendlich groß“ ist keine einzelne Eigenschaft. Länge, Oberfläche und Volumen können sich unabhängig voneinander verhalten – und manchmal ist die Mathematik dabei, wie angekündigt, ausgesprochen unanständig.