Hilberts Hotel: Ausgebucht – und trotzdem noch Platz

„Leider sind alle Zimmer belegt“, sagt der Empfangschef. Dann fährt ein Bus mit neuen Gästen vor. In einem gewöhnlichen Hotel ist die Sache klar: Wer voll ist, kann niemanden mehr aufnehmen. Doch dieses Hotel hat unendlich viele Zimmer. Und in der Mathematik kann „voll“ etwas anderes bedeuten als „kein Platz mehr“.

Das Gedankenexperiment, bekannt als Hilberts Hotel, zeigt, wie sehr unendliche Mengen sich von endlichen unterscheiden. Der Mathematiker David Hilbert verwendete das Hotelbeispiel offenbar in Vorlesungen von 1924/25. Größere Bekanntheit erlangte es später durch den Physiker George Gamow.

Ein neuer Gast: Jeder rückt ein Zimmer weiter

Stellen wir uns ein Hotel mit Zimmern vor, die mit 1, 2, 3 und so weiter nummeriert sind – ohne letztes Zimmer. Jedes Zimmer ist belegt. Nun kommt ein einzelner Gast.

Der Manager bittet den Gast in Zimmer 1, nach Zimmer 2 umzuziehen. Der Gast aus Zimmer 2 zieht nach Zimmer 3, der aus Zimmer 3 nach Zimmer 4 – und so weiter. Damit wird Zimmer 1 frei. Niemand muss ausziehen, und der neue Gast bekommt ein Bett.

Der Trick liegt in der Zuordnung: Wer bisher in Zimmer n wohnte, zieht in Zimmer n + 1. Für jede bisherige Zimmernummer gibt es genau ein neues Zimmer, und keine zwei Gäste landen im selben Raum. Das geht, weil es keine letzte Zimmernummer gibt.

Ein ganzer Bus voller Gäste

Nun kommt nicht ein einzelner Gast, sondern ein Bus mit unendlich vielen Passagieren. Auch dafür reicht der Platz.

Alle bisherigen Gäste ziehen von Zimmer n nach Zimmer 2n: Gast 1 nach 2, Gast 2 nach 4, Gast 3 nach 6. Damit sind alle geraden Zimmer belegt. Die ungeraden Zimmer bleiben frei – und davon gibt es ebenfalls unendlich viele. Die Neuankömmlinge können sie der Reihe nach beziehen: erster Passagier in Zimmer 1, zweiter in Zimmer 3, dritter in Zimmer 5 und so weiter.

Damit zeigt das Hotel etwas Überraschendes: Die geraden Zahlen sind genauso zahlreich wie alle natürlichen Zahlen zusammen. Jede natürliche Zahl n lässt sich eindeutig der geraden Zahl 2n zuordnen. Bei endlichen Mengen wäre eine echte Teilmenge kleiner als die ganze Menge. Bei dieser unendlichen Menge gibt es eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen beiden.

Unendlich ist nicht einfach „sehr, sehr viel“

Die Zimmer des Hotels entsprechen den natürlichen Zahlen: 1, 2, 3 und so weiter. Eine solche Unendlichkeit heißt abzählbar unendlich. „Abzählbar“ bedeutet hier nicht, dass man jemals fertig zählen könnte. Es bedeutet, dass sich jedes Element an eine Stelle in einer endlosen Liste setzen lässt.

Das Hotel kann sogar unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Passagieren aufnehmen, solange die Busse und ihre Sitzplätze jeweils nummeriert sind. Denn die Paare aus Busnummer und Sitznummer lassen sich ebenfalls in eine Liste bringen – etwa indem man sie diagonal ordnet.

Aber das Gedankenexperiment hat eine Grenze. Eine unendliche Menge muss nicht abzählbar sein. Die reellen Zahlen auf einer Zahlengeraden lassen sich nicht vollständig in eine Liste natürlicher Zahlen bringen. Für eine solche größere Unendlichkeit wäre im Hilbert-Hotel kein Zimmer für jeden Gast garantiert.

Ein Paradoxon der Anschauung

Das Hotel ist kein Plan für den Bau eines wirklichen Gebäudes. Es setzt voraus, dass unendlich viele Zimmer und Gäste existieren und dass alle Umzüge gleichzeitig stattfinden können. Das ist ein mathematisches Gedankenexperiment, kein praktischer Beleg dafür, dass sich in der realen Welt unendliche Dinge unterbringen lassen.

Seine Pointe liegt woanders: Bei einer abzählbar unendlichen Menge kann es eine Eins-zu-eins-Zuordnung zwischen der gesamten Menge und einem Teil von ihr geben. Was bei endlichen Mengen unmöglich ist, ist hier widerspruchsfrei. Das Hotel bleibt voll – und schafft trotzdem Platz.